در قسمت قبلی از این آموزش مهم ترین مفاهیم مربوط به ماتریس ها را در متلب بررسی کردیم. از اهمیت ماتریس در متلب گفتیم و اینکه ماتریس اساس و پایه نرم افزار متلب است.

اگر آن آموزش را مطالعه نکرده اید، می توانید آن را از این لینک مطالعه کنید: آموزش کامل ماتریس در متلب – قسمت اول – مفاهیم مقدماتی

در این قسمت قصد داریم تعدادی دیگر از مفاهیم و کاربرد های مربوط به ماتریس ها را مرور کنیم. مفاهیمی که برای کار کردن با ماتریس ها حتما به آنها نیاز زیادی خواهید داشت. پس تا انتها با ما همراه باشید.

جمع ماتریس ها در متلب

سه حالت متفاوت را در اینجا بررسی می کنیم. جمع یک عدد ثابت با ماتریس، جمع بردار با ماتریس و جمع ماتریس با ماتریس.

جمع یک عدد ثابت با ماتریس در متلب

اگر یک عدد ثابت را با یک ماتریس جمع کنیم، آن عدد با تک تک درایه های ماتریس جمع می شود. به مثال زیر توجه کنید:

مثال: ماتریس دو در دو A را با عدد 2 جمع می کنیم و این عدد به همه درایه های ماتریس A اضافه می شود.

جمع ماتریس با بردار در متلب

یک بردار را به شرطی می توان با ماتریس جمع کرد که تعداد ستون های آن (برای بردار سطری) با ستون های ماتریس یا تعداد سطرهای آن (برای بردار ستونی) با تعداد سطرهای ماتریس برابر باشد. برای درک بهتر این موضوع به مثال زیر توجه کنید.

مثال: تعداد ستون های بردار و ماتریس زیر برابر است. عدد هر ستون در بردار، با همه درایه های ستون نظیر خود در ماتریس جمع می شود.

جمع ماتریس با ماتریس در متلب

برای جمع دو ماتریس یا جمع چند ماتریس در متلب، کار سختی در پیش نداریم. کافیست ماتریس ها را تعریف کنیم و علامت جمع در بین آنها قرار دهیم. یا اگر بخواهیم تفریق کنیم، علامت منها بین ماتریس ها قرار می دهیم.

اگر چه این عملیات ساده است اما باید به یک شرط بسیار مهم توجه کنید. حتما باید تعداد سطرها و ستون های ماتریس های جمع شونده با هم برابر باشد در غیر این صورت متلب به شما error خواهد داد.

طبیعتا در این حالت هر درایه با درایه متناظر خود در سایر ماتریس ها جمع خواهد شد. به مثال زیر توجه کنید.

مثال: عملیات جمع و تفریق را بین سه ماتریس با ابعاد یکسان (یعنی همه ماتریس ها سه سطر دارند و دو ستون) انجام می دهیم.  

پیشنهاد می کنم این آموزش را هم مطالعه کنید: درایه های ماتریس در متلب

ضرب ماتریس ها در متلب

ضرب ماتریس ها در دو حالت «ضرب عدد در ماتریس» و «ضرب ماتریس در ماتریس» بررسی می کنیم.

ضرب عدد در ماتریس

اگر یک عدد اسکالر در ماتریسی ضرب شود، همه درایه های ماتریس در آن عدد ضرب می شود.

مثال: عدد 4را در یک ماتریس 3 در 2 ضرب می کنیم.

ضرب ماتریس در ماتریس یا بردار در ماتریس

برای ضرب دو یا چند ماتریس در یکدیگر، دو حالت می توانیم در نظر بگیریم :

حالت اول: ضرب ماتریسی معمولی

حالت دوم: ضرب درایه به درایه

هر کدام از حالت های بالا را در ادامه با استفاده از مثال هایی توضیح خواهیم داد.

حالت اول: ضرب ماتریسی معمولی

حتما از قاعده ضرب ماتریسی به خوبی آگاه هستید و می دانید که شرط این که دو ماتریس بتوانند در هم به صورت ماتریسی ضرب شوند، این است که تعداد ستون های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. این شرط در متلب هم برقرار است و اگر آن را رعایت نکنید، با error متلب مواجه می شوید.

برای ضرب ماتریسی در متلب از * استفاده می کنیم. به مثال های زیر دقت کنید.

مثال: یک ماتریس 3 در 2 را در یک ماتریس 2 در 4 ضرب می کنیم. چون تعداد ستون های ماتریس دوم با تعداد سطرهای ماتریس اول برابر است، مشکلی وجود ندارد و ضرب انجام می شود و در نهایت یک ماتریس مربعی چهار در چهار به دست می آید.

مثال: ماتریس 3 در 2 را در ماتریس 1 در 4 ضرب می کنیم. شرط ضرب ماتریسی را رعایت نکرده ایم و با خطا مواجه می شویم. پیغام خطای متلب در کادر قرمز مشخص شده است.

پیشنهاد می کنم این آموزش را هم مطالعه کنید: ماتریس همانی در متلب

حالت دوم: ضرب درایه به درایه ماتریس ها

اگر بخواهیم هر درایه، در درایه نظیر خودش ضرب شود باید از این ضرب استفاده کنیم. یعنی به این شکل:

در اینجا باید قبل عملگر ضرب یک نقطه هم قرار دهیم. یعنی به جای * بنویسیم: *.

به مثال زیر توجه کنید:

مثال: دو ماتریس یک در چهار (که در واقع بردار هستند) در یکدیگر به صورت درایه به درایه ضرب شده اند.

در نگاه اول به نظر می رسد که شرط لازم برای انجام این  ضرب، مساوی بودن تعداد سطرها و ستون های هر دو ماتریس است. اما در واقع این گونه نیست، کافی است تعداد سطرها و یا تعداد ستون های دو ماتریس با یکدیگر برابر باشد. به مثال زیر توجه کنید تا بهتر متوجه این موضوع شوید:

مثال: تعداد ستون های دو ماتریس زیر برابر با چهار است اما تعداد سطرها تفاوت می کند. در این حالت، باز هم ضرب انجام می شود. به این صورت که هر درایه از ستون های ماتریس اول، در تمام درایه های ستون متناظر در ماتریس دوم ضرب می شود.

پیشنهاد می کنم این آموزش را هم مطالعه کنید: محاسبه اندازه ماتریس و طول بردار در متلب

به توان رساندن ماتریس ها در متلب

همان طور که می دانید عمل توان، در واقع همان عمل ضرب است که چند بار تکرار می شود. در متلب می توانیم یک ماتریس را به توان یک عدد برسانیم. این موضوع را در چند قسمت بررسی می کنیم.

ماتریس به توان عدد

در این حالت یک ماتریس به توان یک عدد می رسد. شرط امکان پذیر بودن این کار، مربعی بودن ماتریس است. (یعنی تعداد سطرها و ستون های ماتریس مساوی باشد.)

مثال: یک ماتریس دو در دو را به توان 2 می رسانیم. این به معنای آن است که این ماتریس به صورت ماتریسی در خودش ضرب می شود. برای توان رساندن از علامت ^ استفاده می کنیم. (Shift+6)

درایه های ماتریس به توان عدد

ممکن است بخواهیم تک تک اعداد یک ماتریس را به توان یک عدد برسانیم. مثلا همه درایه های یک ماتریس به توان دو برسند و یک ماتریس جدید را تشکیل بدهند. این متفاوت است با اینکه کل ماتریس به توان 2 برسد. برای درک بهتر این موضوع، مثال زیر را ببینید و نتیجه آن را با نتیجه مثال بالا مقایسه کنید.

مثال: با استفاده از *. همه درایه های یک ماتریس را به توان دو می رسانیم.

پیشنهاد می کنم آموزش های این بخش را هم مطالعه کنید: تابع zeros و ones در متلب

ماتریس به توان بردار

در این حالت باید حتما تعداد ستون های بردار با ستون های ماتریس یا تعداد سطرهای بردار با سطرهای ماتریس برابر باشد. مثال های زیر به خوبی این موضوع را روشن می کنند.

مثال: یک ماتریس دو در دو به توان یک بردار با دو ستون رسیده. همه درایه های ستون اول ماتریس، به توان عدد 2 (ستون اول بردار) می رسند. همه درایه های ستون دوم ماتریس به توان عدد 3 (ستون دوم بردار) می رسند. دقت کنید که حتما باید از *. استفاده کنید.

مثال: یک ماتریس دو در دو به توان یک بردار با دو سطر رسیده است. همه درایه های سطر اول ماتریس، به توان عدد 2 (یعنی سطر اول بردار) می رسند. همچنین همه درایه های سطر دوم ماتریس به توان عدد 3 (یعنی سطر دوم بردار) می رسند.

عدد به توان ماتریس

اگر یک عدد را به توان یک ماتریس برسانیم، آن عدد به توان تک تک درایه های ماتریس می رسد و یک ماتریس جدید را تشکیل می دهد. در اینجا هم حتما باید از *. استفاده کنید.

مثال: عدد 2 را به توان ماتریس رو به رو می رسانیم. در نتیجه عدد 2 به توان عدد های 2 و 3 و 4 و2 می رسد و یک  ماتریس دو در دو را تشکیل می دهد.

در این آموزش به طور کامل با جمع کردن ضرب کردن ماتریس ها و قواعد و قوانین حاکم بر این عملیات ها آشنا شدید. اگر ابهام یا سوالی باقی مانده است، حتما آن را در پایین این پست مطرح کنید تا در سریع ترین فرصت به آن پاسخ دهیم.