چند جمله ای ها در متلب

یکی از پر کاربردترین مفاهیمی که در ریاضیات ( و در نتیجه در نرم افزار متلب!) به کار می رود، مفهوم چند جمله ای هاست.

چند جمله ای ها از جمع و تفریق توان های متفاوت یک متغیر به همراه ضریب های دلخواه تشکیل می شوند. ( خب تا اینجای کار که مربوط به ریاضی دوران مدرسه می شد!) اما این چند جمله ای ها را چگونه باید در نرم افزار متلب وارد کنیم؟

خب چندین راه برای این کار وجود دارد که در این قسمت از مجموعه آموزش متلب به آن می پردازیم.

بعد از تعریف یک چند جمله ای در متلب می توانیم به متغیر آن مقدار بدهیم و مقدار نهایی چند جمله ای را به دست بیاوریم، یا از چند جمله ای در متلب مشتق یا انتگرال بگیریم.

به هر حال در موارد زیادی نیاز به استفاده از چندجمله ای ها در متلب داریم که در آموزش های بعدی به آن پرداخته می شود. پس توصیه می کنم که آموزش این قسمت را جدی بگیرید!

تعریف چند جمله ای در متلب با استفاده از بردار ضرایب

در برخی از توابع می توانیم چند جمله ای را به صورت برداری از ضرایب آن وارد کنیم. به مثال های زیر توجه کنید:

مثال:

مثال:

البته حتما به این نکته توجه داشته باشید که در حالت عادی اگر یک بردار تعریف کنید، طبیعتا هیچ وقت متلب آن را به عنوان یک چندجمله ای نمی شناسد. بلکه با آن صرفا به صورت یک بردار رفتار می کند.

پس این نوع تعریفی که در بالا کردیم به چه دردی می خورد؟ در بعضی از توابع که باید یک چند جمله ای را به عنوان ورودی به آنها بدهیم، می توانیم از این شیوه استفاده کنیم. چند کاربرد بسیار مهم این روش را در همین قسمت از آموزش های متلب بررسی می کنیم.

تعریف چند جمله ای با استفاده از تابع poly در متلب

اگر ریشه های یک چند جمله ای را داشته باشیم و بخواهیم عبارت بسط داده شده آن را به دست آوریم، از تابع poly در متلب استفاده می کنیم. به این صورت که ریشه های مورد نظر را به صورت یک بردار به تابع poly می دهیم و این تابع عبارت جبری بسط داده شده چندجمله ای را ایجاد می کند.

مثال: می خواهیم چند جمله ای تولید کنیم که ریشه های آن اعداد 0 و 2- و 3 باشند:

مشاهده می کنید که خروجی به صورت یک بردار نمایش داده می شود. این خروجی دقیقا از حالتی که در بالا شرح دهیم پیروی می کند و ضرایب چند جمله ای را نمایش می دهد. در واقع بردار بالا نشان دهنده این چندجمله ای است:

یک کاربرد دیگر تابع poly در متلب: پیدا کردن معادله مشخصه ماتریس

در بالا یک بردار را به عنوان ورودی به تابع poly تحویل دادیم. برداری که المان های آن ریشه های چندجمله ای مورد نظر ما بودند.

اگر به جای بردار، یک ماتریس را در ورودی تابع poly در متلب وارد کنیم، این تابع چند جمله ای مشخصه مربوط به ماتریس را محاسبه می کند و در خروجی نمایش می دهد.

(اگر با ماتریس ها آشنایی کامل داشته باشید، می دانید که چند جمله ای مشخصه یک ماتریس، یک چندجمله ای است که ریشه های آن مقادیر ویژه ماتریس هستند. در آموزش های آینده این موارد را دقیق تر شرح می دهیم.)

مثال: چند جمله ای مشخصه ماتریس A را محاسبه می کنیم:

خروجی به صورت یک بردار است که همانطور که پیش از این هم بحث کردیم، نشان دهنده عبارت جبری زیر می باشد:

پیدا کردن مقدار چندجمله ای با استفاده از تابع polyval در متلب

فرض کنید یک چند جمله ای داریم و می خواهیم مقدار چند جمله ای را به ازای مقدار خاصی از متغیر آن به دست بیاوریم. در این صورت از تابع polyval استفاده می کنیم. مثال زیر این موضوع را کاملا روشن می کند.

مثال: فرض کنید می خواهیم مقدار چندجمله ای زیر را هنگامی که متغیر x برابر 2 باشد به دست آوریم.

ابتدا چند جمله ای را به صورت بردار ضرایب ( که در ابتدای این آموزش بحث شد) در p ذخیره می کنیم. سپس از دستور polyval در متلب برای اختصاص مقدار 2 به متغیر چندجمله ای استفاده می کنیم. ورودی اول دستور polyval بردار ضرایب است که چندجمله ای را مشخص می کند و ورودی دوم مقدار 2 است.

مشاهده می کنید که مقدار چندجمله ای به ازای 2 در متغیر m ذخیره می شود.

پیدا کردن ریشه های چند جمله ای با استفاده از تابع roots در متلب

با استفاده از تابع roots می توانیم ریشه های یک چندجمله ای را در متلب بدست بیاوریم. (حتما می دانید که ریشه های یک عبارت جبری، اعدادی هستند که اگر آنها را در متغیر عبارت جبری قرار دهیم حاصل عبارت برابر صفر خواهد شد.)

ورودی تابع roots در متلب، چند جمله ای مورد نظر ما خواهد بود که با استفاده از بردار ضرایبش آن را نمایش می دهیم. خروجی هم برداری خواهد بود که المان های آن ریشه های چندجمله ای هستند. به مثال زیر توجه کنید:

مثال: قصد داریم ریشه های چند جمله ای درجه 4 زیر را به دست آوریم.

بردار ضرایب چند جمله ای را وارد تابع roots می کنیم تا ریشه های این چندجمله ای را محاسبه کند.

مشاهده می کنید که 4 ریشه مختلط برای این چندجمله ای به دست می آید.

در قسمت بعدی مربوط به چند جمله ای ها در متلب، مشتق گیری و انتگرال گیری از چند جمله ای ها را معرفی خواهیم کرد و نحوه ضرب و تقسیم آن ها را شرح خواهیم داد.

اگر سوالی از این آموزش داشتید، خوشحال می شویم که در زیر همین مطلب آن را وارد کنید.